NUMBERS S+P, maxSP, minSP and |P-S|
NOMBRES S+P, maxSP, minSP et |P-S|
Résumé
Given an integer n, we define S(n) as the sum of all its digits and P(n) as the product of all its non zero digits. Among the different Niven numbers ([2], [3], [9], [OE3], [OE6], [OE7]) which are multiples of S(n), there have been many results on the numbers SP, defined by the product S(n)*P(n) ([4], [5], [6], [7], [9], [OE4], [OE5], [OE9], [OE10], [OE12]); furthermore, the various Armstrong numbers ([1], [11], [OE2]) are also defined by the sum of their digits raised to a certain power most of the time.
As another choice of function of the digits of n, it seemed legitimate to consider the numbers S+P, defined by the sum S(n)+P(n), the numbers |P-S| defined by the absolute value of the difference, as well as the numbers maxSP and minSP, defined by the maximum, respectively the minimum, between S(n) and P(n).
We will determine such numbers in decimal base, as well as in any base, and we will expand the search (as we did for the rppdi ([10], [OE8]) by considering the power r > 1 of the n considered to obtain r-numbers S+P, maxSP, minSP or |P-S|; the trivial solution 0 will not be taken into account.
In each of these cases, we will try to determine the set of attractors (fixed points and cycles) of the associated transformations and deduce, sometimes, the pleasantness of said transformation (in the sense of [8]).
Finally, we propose a use of S+P and |P-S| to generate classes of particular prime numbers that have only one digit C strictly greater than 1, then 3 or 5 digits 1 (number depending on C), and any positive or zero number of 0s. Thus, we can easily and quickly exhibit (1 to 2 minutes of calculation time with the software PARI/GP) such primes with up to 3000 digits.
An online simulation of the S+P, maxSP, minSP, and |P-S| is proposed.
Etant donné un entier n, on appelle S(n) la somme de tous ses chiffres et P(n) le produit de tous ses chiffres non nuls. Parmi les différents nombres de Niven ([2], [3], [9], [OE3], [OE6], [OE7]) qui sont des multiples de S(n), on a beaucoup de résultats sur les nombres SP, définis par le produit S(n)*P(n) ([4], [5], [6], [7], [9], [OE4], [OE5], [OE9], [OE10], [OE12]); par ailleurs, les divers nombres de Armstrong ([1], [11], [OE2]) sont aussi définis par des sommes de leurs seuls chiffres le plus souvent élevés à une certaine puissance.
Comme autre choix de fonction des chiffres de n, il nous a semblé légitime d'envisager les nombres S+P, définis par la somme S(n)+P(n), les nombres |P-S| définis par la valeur absolue de la différence ainsi que les nombres maxSP et minSP, définis par le maximum, respectivement le minimum, entre S(n) et P(n).
On déterminera de tels nombres en base décimale, ainsi qu'en base quelconque et on élargira la recherche (comme nous l'avions fait pour les rppdi ([10], [OE8]) en considérant la puissance r > 1 du n considéré pour obtenir des r-nombres S+P, maxSP, minSP ou |P-S|; la solution triviale 0 ne sera pas prise en compte. On cherchera dans chacun de ces cas à déterminer l'ensemble des attracteurs (points fixes et cycles) des transformations associées et à en déduire, certaines fois, le caractère agréable (au sens de [8]) de ladite transformation.
On propose enfin une utilisation des S+P et |P-S| pour générer des classes de nombres premiers particuliers qui n'ont qu'un seul chiffre C strictement supérieur à 1, puis 3 ou 5 chiffres 1 (nombre dépendant de C) et des 0 en nombre quelconque positif ou nul. On peut ainsi exhiber assez facilement et vite (1 à 2 minutes de temps de calcul avec le logiciel PARI/GP) de tels premiers possédant jusqu'à 3000 chiffres.
Une simulation en ligne des S+P, maxSP, minSP et |P-S| est proposée
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