Hdr Année : 2025

Fast Algebraic Algorithms for Arithmetic Geometry and Polynomial Systems

Résumé

This document summarizes my research work since my Ph.D. thesis defense in 2012. The common denominator of my research is the study of geometric objects by means of symbolic and algebraic computations, using practical applications in cryptography as a compass. The first part of my work incorporates arithmetic and algorithmic number theory, via the study of (hyper)elliptic curves, abelian varieties and Drinfeld modules. More specifically, we focus on point counting problems on hyperelliptic curves defined over finite fields, algorithms for isogenies of Drinfeld modules, and computations of Riemann-Roch spaces over nodal algebraic curves. The second part of my research investigates polynomial systems and their algorithms. We study the computation of critical points of polynomial functions by algebraic and numerical methods, with a focus on the problem of structured low-rank approximation. We are also interested in combinatorial methods for constructing families of systems that involve few monomials but many positive real solutions. Finally, we present some recent results on polynomial systems with monomial structures from the viewpoint of toric geometry.
Ce document synthétise mes travaux de recherche depuis ma soutenance de thèse en 2012. Le dénominateur commun de mes recherches est l'étude d'objets géométriques par le biais du calcul symbolique et algébrique, en ayant pour boussole des applications pratiques en cryptographie. Un premier volet de mes travaux incorpore une part importante d'arithmétique et de théorie algorithmique des nombres, via l'étude des courbes (hyper)elliptiques, des variétés abéliennes et des modules de Drinfeld. Plus précisément, on s'intéresse aux problèmes de comptage de points sur les courbes hyperelliptiques définies sur des corps finis, à l'algorithmique des isogénies de modules de Drinfeld, et au calcul d'espaces de Riemann-Roch sur des courbes algébriques nodales. Le deuxième volet de mes recherches se concentre sur les systèmes polynomiaux et leur algorithmique. Nous étudions le calcul de points critiques de fonctions polynomiales par des méthodes algébriques et numériques, avec un focus sur le problème de l'approximation de faible rang structurée. Nous nous intéressons également à des méthodes combinatoires pour construire des familles de systèmes qui ont peu de monômes mais beaucoup de solutions réelles positives. Enfin, nous présentons quelques résultats récents sur les systèmes polynomiaux avec des structures monomiales du point de vue de la géométrie torique.
Fichier principal
Vignette du fichier
hdr_spaenlehauer.pdf (1) Télécharger le fichier
Origine Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
licence

Dates et versions

tel-04947331 , version 1 (14-02-2025)

Licence

Identifiants

  • HAL Id : tel-04947331 , version 1

Citer

Pierre-Jean Spaenlehauer. Fast Algebraic Algorithms for Arithmetic Geometry and Polynomial Systems. Symbolic Computation [cs.SC]. Université de Lorraine, 2025. ⟨tel-04947331⟩
0 Consultations
0 Téléchargements

Partager

More